En el simulador se muestran, en la parte central, dos gotas de agua de 0.5 mm de radio cayendo desde una altura de 400 m. La simulación compara el movimiento de una gota de agua en caída libre, color magenta y otra gota de color azul que cae sin despreciar el empuje del aire.
En la gráfica izquierda se muestra la altura de ambas gotas y en gráfica de la derecha se muestra la velocidad que tienen en cada instante.
Partiendo del reposo, la gota magenta va aumentando su velocidad uniformemente por la aceleración gravitacional, su velocidad aumenta sin límite. En cambio, la gota azul que además de la fuerza de atracción gravitacional tiene una fuerza de resistencia causada por el aire, tiene un comportamiento diferente. Al inicio la fuerza de resistencia es muy pequeña por su baja velocidad, conforme desciende, la velocidad aumenta y también la magnitud de la resistencia, hasta que la fuerza gravitacional y la fuerza de resistencia son iguales, en este punto,la aceleración de la gota de agua es cero y cae con velocidad constante durante el resto de la caída. A esta velocidad se le llama velocidad de crucero.
Imagen del simulador
Gota de agua en caída libre
En cursos pre-universitarios, se estudia la caída libre de los objetos considerando que la fuerza a la que está sometido dicho cuerpo es la atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre él, es decir, su peso: F = mg, produciendo un movimiento uniformemente acelerado (MUA).
El MUA se caracteriza por tener una aceleración constante a = g = −9.8 m/s2 y una velocidad que aumenta en forma lineal:
v(t) = v0 + gt
La altura del objeto se obtiene con una ecuación cuadrática:
h(t) = h0 + v0t + ½gt2
Esta forma de estudiar la caída libre no es completamente real, ya que si así fuera, las gotas de agua de la lluvia, al caer desde alturas muy elevadas, alcanzarían una velocidad enormemente grande.
Gota de agua con resistencia del aire
Si al estudio de la caída libre le agregamos el efecto que tiene la resistencia del aire utilizando la Leyde Stokes que analiza el desplazamiento de cuerpos esféricos pequeños que caen dentro de un medio viscoso, la situación se modifica drásticamente.
En este caso, podemos decir que la fuerza resultante que actúa sobre la partícula está formada por la suma de dos fuerzas: la fuerza de gravedad F = mg, con dirección hacia abajo y valor constante, y la resistencia del aire F = bv, que se opone al movimiento con dirección hacia arriba y valor variable que depende de la velocidad.
El valor de b para una gota de agua de radio r es:
b = 3.4 × 10−4 kg/s
La magnitud de la velocidad de caída de la gota de agua está dada por la función:
v(t) = mg⁄b + (v0 − mg⁄b) e−b⁄m t
Esta función se simplifica si se considera el momento en que se suelta la gota desde una nube en reposo:
v(t) = mg⁄b (1 − e−b⁄m t)
Considerando la gota de agua esférica de radio r = 0.5 mm, con densidad ρ = 1000 kg/m3, la masa de la gota de agua es:
m = ρV = 1000 (4⁄3 πr3)
Por lo que el factor m / b = 1000 (4⁄3 πr3) ⁄ 3.4 × 10−4 = 3.08 . Al realizar estas consideraciones se obtiene la función de velocidad de caída de la gota como función del tiempo:
v(t) = 3.08g (1 − e -1/3.8t)
Este ejercicio consta un applet que simula el alineamiento horizontal de una curva circular simple, Mediante trazos geométricos se muestra que el ángulo central tiene la misma medida que el ángulo de deflexión de la cuerda. Mediante controles se puede modificar la dirección de las rectas tangentes de entrada y salida a la curva y el radio de la curva.
Conceptos sobre una curva circular simple
- Alineamiento Horizontal
El alineamiento horizontal de una carretera es la proyección de la línea central de ésta sobre un plano horizontal.
- Curva circular simple
Una curva circular simple está formada por dos rectas tangentes unidas mediante una circunferencia.
- Grado de Curvatura 𝐶𝑐
Es el ángulo central que abarca un arco de 20 m.
- Longitud de la curva circular 𝐿𝑐
Es la longitud del arco circular que enlaza las dos rectas tangentes. Se calcula a partir del grado de curvatura y el ángulo central.Δ𝑐
- Longitud de un arco sobre la curva circular 𝑙
Es la distancia entre el punto de inicio de la curva, PC, y un punto cualquiera, P, sobre la curva.
- Deflexión de un punto P sobre la curva 𝜃
Es el ángulo que forma la prolongación de la tangente en el punto de inicio de la curva PC y la tangente en el punto P.
- Ángulo de la cuerda 𝜙
Ángulo comprendido entre la prolongación de la tangente y la cuerda considerada.
- Cuerda 𝑐
Recta comprendida entre dos puntos de la curva como por ejemplo PC y P.
- Cadenamiento
Es el procedimiento para trazar una carretera a base de segmentos rectos poligonales de 20 m de longitud. Se denomina así porque antiguamente se utilizaba una cadena de dicha longitud para realizar la medición
Para trazar una curva simple de una carretera, se utiliza la trigonometría. Los ángulos de deflexión de un punto y de la cuerda pueden medirse tanto desde el centro como desde la circunferencia. Cuando la curva tiene un radio muy grande, muchas veces el acceso al centro es complicado o imposible.
Una curva suave se presenta cuando la transición de un tipo de curva a otro no forma picos, esto ocurre cuando la derivada de las funciones que forman ambas curvas tienen la misma pendiente en el punto de intersección.
La función que describe la parte positiva de la circunferencia es circunferencia con centro en el origen es 𝑓(𝑥) =√𝑟2−𝑥2 y la función que describe la recta tangente a la circunferencia en un punto(𝑥0,𝑦0) es 𝑓(𝑥) =𝑚(𝑥 −𝑥0) +𝑦0
La condición de curva suave se presenta cuando 𝑓′(𝑥) =𝑔′(𝑥)
Material interactivo del libro: CATENARIA. Ingeniería y matemáticas
Universidad Autónoma de Querétaro
Autores:
Hernández Garciadiego Cecilia
Sosa Garza Carmen
Spíndola Yáñez Patricia Isabel